Rachunek zmiennych

Rachunek zmiennych (ang. calculus of variations) jest gałęzią matematyki zajmującą się znajdowaniem ekstremów (maksimum lub minimum) funkcjonałów – przekształceń przyjmujących jako argumenty funkcje. W przeciwieństwie do klasycznego rachunku różniczkowego, w którym optymalizuje się wartość funkcji jednego argumentu, w rachunku zmiennych optymalizuje się całki zależne od całych rodzin funkcji.

Historia

Początki rachunku zmiennych sięgają XVIII w. i pracy Leonarda Eulera oraz Joseph’a Louisa Lagrange’a, którzy sformułowali pierwsze warunki konieczne dla ekstremum funkcjonału. W 1808 r. Lagrange opublikował Théorie des fonctions analytiques, w którym pojawiło się równanie znane dziś jako równanie Eulera‑Lagrange’a. Rozwój tej dziedziny przyspieszył w XIX i XX w. dzięki pracom William Hamiltona, Pierre-Louis Maupertuis'a oraz Davida Hilberta.

Podstawowe pojęcia

Funkcjonal – odwzorowanie, które każdej dopuszczalnej funkcji y(x) przyporządkowuje liczbę rzeczywistą, najczęściej w postaci całki:
```
J[y] = ∫_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x)) \,dx
```
Ekstrema funkcjonału – funkcje y(x) spełniające warunek, że wartości J[y] są maksymalne lub minimalne względem niewielkich wariacji δy(x) spełniających warunki brzegowe.
Równanie Eulera‑Lagrange’a – warunek pierwszego rzędu niezbędny dla ekstrema:
```
∂F/∂y - d/dx (∂F/∂y') = 0
```
Warunki naturalne – dodatkowe warunki na krańcach przedziału, wynikające z braku wymuszenia na wartości funkcji w punktach brzegowych.
Wariacje transversalne – sytuacje, w których nie tylko funkcja y(x), lecz także końcowy punkt (x, y) może być zmienny.

Zastosowania

Rachunek zmiennych znajduje szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki:

Mechanika klasyczna – zasada najmniejszego działania (zasada Hamiltona) jest bezpośrednim przykładem funkcjonału S = ∫ L dt, gdzie L to lagranżjan układu.
Fizyka teoretyczna – teoria pola, optyka geometryczna (prawo Fermata), dynamika płynów.
Ekonomia – problem optymalizacji kosztów i zysków w czasie (np. problem maksymalizacji użyteczności przy ograniczeniach budżetowych).
Inżynieria – optymalny kształt konstrukcji (np. belka o minimalnym zużyciu materiału), sterowanie optymalne i teoria sterowania.
Biologia – modele ewolucyjne i migracyjne, optymalizacja trajektorii ruchu zwierząt.

Metody rozwiązywania

Rozwiązywanie problemów rachunku zmiennych opiera się na kilku podstawowych technikach:

Formułowanie funkcjonału i warunków brzegowych.
Wyprowadzenie równania Eulera‑Lagrange’a.
Rozwiązanie otrzymanego równania różniczkowego (czasem przy użyciu metod równan różniczkowych zwykłych lub cząstkowych).
Sprawdzenie warunków drugiego rzędu (np. warunek Legendre’a, warunek Jacobi’ego) w celu odróżnienia minimum od maksimum.
Wykorzystanie metod numerycznych, takich jak metoda elementów skończonych (MES) czy metoda gradientu.

Rozszerzenia i powiązane dziedziny

Współczesny rachunek zmiennych rozwinął się w kierunki:

Optymalizacji w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych.
Teorii sterowania – szczególnie w problemach sterowania optymalnego.
Analizy funkcjonalnej – badanie własności przestrzeni funkcyjnych, w których definiowane są funkcjonały.
Geometrii różniczkowej – pojęcie geodezyjnych jako krzywych ekstremalnych w przestrzeniach zakrzywionych.

Znani matematycy i fizycy związani z rachunkiem zmiennych

Leonhard Euler (1707–1783) – sformułowanie wczesnych warunków ekstremalnych.
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) – równanie Eulera‑Lagrange’a.
William Rowan Hamilton (1805–1865) – zasada Hamiltona, wprowadzenie pojęcia lagranżjana i hamiltonianu.
David Hilbert (1862–1943) – rozwój formalizmu i funkcjonałów w Problema Hilberta nr 23.
Lev Pontryagin (1908–1988) – zasada maksymalizacji Pontryagina w optymalnym sterowaniu.

Przykładowe problemy

Problem brachistochrone

Znalezienie krzywej, po której punkt masowy spada pod wpływem grawitacji z jednego punktu do drugiego w najkrótszym czasie. Rozwiązaniem jest cycloid, uzyskanym przy użyciu równania Eulera‑Lagrange’a.

Problem najkrótszej drogi (geodezyjna)

W przestrzeni euklidesowej najkrótsza droga między dwoma punktami to prosta; w przestrzeni zakrzywionej (np. powierzchnia sfery) najkrótszą drogą jest geodezyjna – wielka okręgi.

Literatura

Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. Calculus of Variations. (Klasyczna pozycja w języku angielskim, dostępna także w przekładzie na język polski).
Weierstrass, K. Einführung in die Funktionslehre – podstawy formalne rachunku zmiennych.
Bell, J. L.; R. J. Elliott. Stochastic Calculus and Applications – połączenie rachunku zmiennych z procesami losowymi.

Powiązane pojęcia (linki wewnętrzne)

Więcej informacji można znaleźć w następujących artykułach encyklopedycznych: